I'd like to have a cat.

I'd like to have a cat.

「猫飼いたい。」になります。

I want to have a cat.

これも「猫飼いたい」になりますが。
"want"を使うと子供が大人に「猫飼いたい」とお願いするニュアンスです。
大人が落ち着いて「～したい。」という場合は"would like to"を使います。