I've already had lunch.

I've already had lunch.

「すでに昼食は食べました。」の意味。
"have lunch"で昼食を摂るという使い方になります。

I'll have a lunch.

この使い方でも間違いありません。
しかし、この"a lunch"はいつもの昼食ではない特別な昼食を意味します。

これは以下のような例で説明できます。

I go to school.

「私は（いつもの）学校へ行きます。」という意味。
"go to school"が「通学する」というひとつの意味になっています。

I go to a school.

「私は（なんらかの）学校へ行きます。」という意味。
この"a school"は通っている学校であるかもしれませんが、
わざわざ"a"をつけるのですからなにか別の学校をさすことになります。